Adjoint-based optimisation of time- and span-periodic flow fields with Space–Time Spectral Method: Application to non-linear instabilities in compressible boundary layer flows
Optimisation basée sur l'adjoint pour les écoulements périodiques en temps et dans la direction transverse à l'aide de la méthode spectrale spatio-temporelle : application aux instabilités non linéaires dans les écoulements de couche limite compressibles
Abstract
We aim at computing time- and span-periodic flow fields in span-invariant configurations. The streamwise and cross-stream derivatives are discretised with finite volumes while time and the span-direction are handled with pseudo-spectral Fourier-collocation methods. Doing so, we extend the classical Time Spectral Method (TSM) to a Space–Time Spectral Method (S-TSM), by considering non-linear interactions of a finite number of time and span harmonics. For optimisation, we introduce an adjoint-based framework that allows efficient computation of the gradient of any cost functional with respect to a large-dimensional control parameter. Both theoretical and numerical aspects of the methodology are described: evaluation of matrix–vector products with S-TSM Jacobian (or its transpose) by algorithmic differentiation, solution of fixed-points with quasi-Newton method and de-aliasing in time and space, solution of direct and adjoint linear systems by iterative algorithms with a block-circulant preconditioner, performance assessment in CPU time and memory. We illustrate the methodology on the case of 3D instabilities (first Mack mode) triggered within a developing adiabatic boundary layer at M = 4.5. A gradient-ascent method allows to identify a finite-amplitude 3D forcing that triggers a non-linear response exhibiting the strongest time- and span-averaged drag on the flat-plate. In view of flow control, a gradient-descent method finally determines a finite amplitude 2D wall-heat flux that minimises the averaged drag of the plate in presence of the previously determined non-linear optimal forcing.
Nous visons à calculer des écoulements périodiques en temps et en envergure dans des configurations invariantes en envergure. Les dérivées dans le sens de l'écoulement et normales à la paroi sont discrétisées avec des volumes finis, tandis que le temps et la direction en envergure sont traités avec des méthodes pseudo-spectrales de collocation de Fourier. En procédant ainsi, nous étendons la méthode spectrale temporelle classique (TSM) à une méthode spectrale spatio-temporelle (S-TSM), en considérant les interactions non linéaires d'un nombre fini d'harmoniques temporelles et spatiales. Pour l'optimisation, nous introduisons un cadre basé sur l'adjoint qui permet un calcul efficace du gradient de toute fonctionnelle de coût par rapport à un paramètre de contrôle de grande dimension. Les aspects théoriques et numériques de la méthodologie sont décrits : évaluation des produits matrice-vecteur avec la Jacobienne de la S-TSM (ou sa transposée) par différentiation algorithmique, solution des points fixes avec une méthode quasi-Newton, désaliasage en temps et en espace, solution des systèmes linéaires directs et adjoints par des algorithmes itératifs avec un préconditionneur à blocs circulants, évaluation des performances en temps CPU et en mémoire. Nous illustrons la méthodologie sur le cas des instabilités 3D (premier mode de Mack) déclenchées dans une couche limite adiabatique à M = 4,5. Une méthode de gradient ascendant permet d'identifier un forçage 3D d'amplitude finie qui déclenche une réponse non linéaire présentant la plus forte traînée moyenne en temps et en envergure sur la plaque plane. En vue du contrôle de l'écoulement, une méthode de descente par gradient détermine finalement un flux de chaleur de paroi 2D d'amplitude finie qui minimise la traînée moyenne de la plaque en présence de la force optimale non linéaire précédemment déterminée.
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