Outils mathématiques et algorithmiques pour le calcul scientifique - Institut Polytechnique de Paris Access content directly
Lectures Year : 2019

Outils mathématiques et algorithmiques pour le calcul scientifique

Abstract

Ce polycopié correspond aux notes du cours "Calcul Scientifique Parallèle", tel qu'enseigné de 2014 à 2019 par les auteurs. Ce cours fait partie du cursus Modélisation et Simulation du M2 Analyse, Modélisation, Simulation de l'Université Paris-Saclay et du cursus de 3ème année ModSim de l'ENSTA Paris. L'objectif principal est de proposer aux étudiants des outils de calcul scientifique permettant d'appréhender les algorithmes adaptés au calcul parallèle, c'est-à-dire pouvant utiliser plusieurs nœuds de calcul simultanément. On abordera essentiellement le calcul parallèle d'un point de vue méthodologique et/ou algorithmique. A partir d'un problème modèle, on présente un certain nombre d'outils et de méthodes permettant de le résoudre numériquement, et on explique comment on peut adapter au calcul parallèle, c'est-à-dire paralléliser, les algorithmes associés. On évoque, sans les occulter, tous les aspects de la résolution, qu'ils soient abstraits (point de vue mathématique) ; discrétisation (point de vue numérique) ; algorithmique (mise en œuvre). A noter : le point de vue informatique du calcul parallèle est développé dans la documentation en ligne disponible à l'adresse https://ams301.pages.math.cnrs.fr/. Le polycopié est composé de trois parties et d'annexes. Dans la première partie, on rappelle quelques problèmes typiques à traiter. Parmi ces problèmes, on se concentrera sur la résolution de l'équation de diffusion des neutrons : résolution mathématique d'une part, et résolution numérique d'autre part. Pour ce second aspect, on introduit deux méthodes de discrétisation : les différences finies et les éléments finis. Les différences finies donnent lieu à des algorithmes de résolution numérique possédant une structure, on parle d'algorithmes structurés, alors que les éléments finis conduisent en général à des algorithmes non-structurés. Après discrétisation, l'opération fondamentale à réaliser est la résolution d'un système linéaire. La seconde partie se concentre donc sur l'algèbre linéaire numérique : éléments d'algorithmique numérique, les méthodes de résolution directes et itératives, les méthodes de Krylov et la méthode de la puissance itérée. La prise en compte de la structure, ou de l'absence de structure, joue un rôle déterminant dans la résolution parallèle. Enfin la troisième partie est une introduction aux méthodes de décomposition de domaine. Le calcul parallèle est naturellement associé à ces méthodes, car on choisit de découper le problème initial en plusieurs sous-problèmes interagissant entre eux, et on discrétise la seconde instance. On reprend comme exemple l'équation de diffusion des neutrons, discrétisée par la méthode des éléments finis. Après une introduction mathématique, on étudiera pour chaque problème deux méthodes de décomposition de domaine : la méthode de Schwarz et la méthode avec contrainte. On s'aidera de l'analyse numérique pour valider nos modèles décomposés. Les annexes comprennent des rappels en algèbre linéaire, les outils de base pour l'étude et l'approximation de formulations variationnelles en dimension infinie, et enfin quelques outils élémentaires sur les distributions et les espaces fonctionnels de type Sobolev.
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Dates and versions

hal-04311490 , version 1 (28-11-2023)

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Identifiers

  • HAL Id : hal-04311490 , version 1

Cite

Patrick Ciarlet, Erell Jamelot. Outils mathématiques et algorithmiques pour le calcul scientifique. Master. Palaiseau, France. 2019, pp.1-287. ⟨hal-04311490⟩
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